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积分

积分微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分不定积分两种。直观地说,对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上,由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值)。

积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出(参见条目“黎曼积分)。黎曼的定义运用了极限的概念,把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起,更高级的积分定义逐渐出现,有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说,路径积分是多元函数的积分,积分的区间不再是一条线段(区间[a,b]),而是一条平面上或空间中的曲线段;在面积积分中,曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。

不定积分

积分还可以分为两部分。第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+CC是常数)的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x)C是任意的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分。

用公式表示是:

定积分

而相对于不定积分,还有定积分。所谓定积分,其形式为

。之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数。

定积分的定义式为:

其中,

为分点。

From <http://baike.baidu.com/item/%E7%A7%AF%E5%88%86/5749068>

收敛 convergence

收敛数列

{

}为一个数列,且A为一个固定的实数,如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N,使得对于任意n>N,|

-A|<b恒成立,就称数列{

}收敛于A极限A),即数列{

}收敛数列

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则:关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,|f(x1)-f(x2)|<b

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列,u1(x), u2x u3x……unx……. 则由这函数列构成的表达式u1x+u2x+u3x+……+unx+……⑴称为定义在区间i上的(函数项)无穷级数,简称(函数项)级数

对于每一个确定的值X0I,函数项级数 成为常数项级数u1x0+u2x0+u3x0+……+unx0+…. 2 这个级数可能收敛也可能发散。如果级数(2)发散,就称点x0是函数项级数(1)的发散点。函数项级数(1)的收敛点的全体称为他的收敛域 ,发散点的全体称为他的发散域 对应于收敛域内任意一个数x,函数项级数称为一收敛的常数项 级数 ,因而有一确定的和s。这样,在收敛域上 ,函数项级数的和是x的函数Sx),通常称sx)为函数项级数的和函数,这函数的定义域就是级数的收敛域,并写成Sx=u1x+u2x+u3x+……+unx+……把函数项级数 的前n项部分和 记作Sn(x),则在收敛域上有lim n→∞Sn(x)=S(x)

rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函数级数项的余项 (当然,只有x在收敛域上rnx)才有意义,并有lim n→∞rn (x)=0

迭代算法的敛散性

1.全局收敛

对于任意的X0[a,b],由迭代式Xk+1=φXk)所产生的点列收敛,即其当k→∞时,Xk的极限趋于X*,则称Xk+1=φXk)在[ab]上收敛于X*

2.局部收敛

若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0R,由Xk+1=φXk)所产生的点列收敛,则称Xk+1=φXk)在R上收敛于X*

From <http://baike.baidu.com/item/%E6%94%B6%E6%95%9B/5957628>

凸函数 Convex Function

凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C区间)上的实值函数

凸函数是一个定义在某个向量空间凸子集区间)上的实值函数,如果在其定义域上的任意两点,以及,有。

也就是说,一个函数是凸的当且仅当上境图(在函数图像上方的点集)为一个凸集。如果对于任意的有,函数是严格凸的。

若对于任意的,其中,都有,则称函数是几乎凸的。

From <https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%B8%E5%87%BD%E6%95%B0>

In mathematics, a real-valued function defined on an interval is called convex (or convex downward or concave upward) if the line segment between any two points on the graph of the function lies above or on the graph, in a Euclidean space (or more generally a vector space) of at least two dimensions. Equivalently, a function is convex if its epigraph (the set of points on or above the graph of the function) is a convex set. Well-known examples of convex functions include the quadratic function 

 and the exponential function 

 for any real number x.

From <https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function>

任意两点的连线都在函数曲线的下(shang?)

追问:

详细一点儿!!!

追答:

任意两点A,B连线中点是C,那么C的纵坐标y_C < f((A+B)/2)

From <http://www.zybang.com/question/4da6bd292eda5acca06bdd134dd4431a.html>

Derivative 导数

导数Derivative)是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)df(x0)/dx

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度

不是所有的函数都有导数,一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导。然而,可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导

From <http://baike.baidu.com/item/%E5%AF%BC%E6%95%B0/579188?fromtitle=Derivative&fromid=18080113&fr=aladdin>

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